APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Valor máximo y valor mínimo de una función
Si f es una función dada, entonces  es un valor máximo relativo de f, si existe un intervalo abierto  tal que  y  para , siendo x un valor del dominio de la función.

Si  para toda x en el dominio de f, entonces  es el valor máximo de fo máximo absoluto.

Similarmente,  es un valor mínimo relativo de la función f, si existe un intervalo abierto  tal que  y  para , con x en el dominio de f.

Si  para toda x en el dominio de f, entonces se dice que  es el valor mínimo de dicha función. También se llama mínimo absoluto.

Ejemplo:

Considere una función f definida en un intervalo , cuya representación gráfica es la siguiente:

Note que , es un máximo relativo y  es el máximo valor que toma la función en el intervalo en que está definida.

Similarmente,  es un valor mínimo relativo y  es el mínimo absoluto de la función en .

	Teorema 2
	Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si  es un valor máximo relativo de f y si existe  entonces . Prueba: al final del capítulo.

Ejemplo:

Considere la función f definida por

Su representación gráfica es la siguiente:

 

Puede observarse que cuando x toma el valor de  entonces la función tiene un valor máximo. En este caso  es precisamente el vértice de la parábola con ecuación: .

Según el teorema anterior debe cumplirse que  es igual a cero.

En efecto, como , al sustituir x por -2 se obtiene que, que era lo que quería comprobarse.

	Teorema 3
	Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si  es un valor mínimo  relativo de f y si  existe, entonces . La demostración es similar a la del teorema anterior.

Ejemplo:

Considere la función f definida por:

Su representación gráfica es la siguiente:

 

Note que la función f tiene un valor mínimo en  dado por . El punto  es el vértice de la parábola con ecuación .

De acuerdo con el teorema  debe cumplirse que  sea igual a cero.

Como  entonces  y se verifica lo enunciado respecto al valor mínimo.

Observación:
El recíproco de los dos teoremas anteriores no es cierto. Es decir, el hecho de que  sea igual a cero, no implica que en  exista un máximo o un mínimo.

Por ejemplo, para la función f con ecuación , se tiene que , y  si ; sin embargo, en  no hay ni un valor máximo ni un valor mínimo, como puede observarse en la siguiente representación gráfica de la función.

 

	Definición
	Sea f una función. Recibe el nombre de valores críticos del dominio de f, aquellos en los que  es igual a cero o en los que  no existe.

Ejemplo:

Determinemos los valores críticos de las funciones con ecuaciones:

a.	,
b.	,

 

 

 

Solución:

a.

Como , entonces 

Ahora:  si y solo si  o sea si , ó, , ó, 

Luego, los valores críticos de f son: x=0, x=1, y x=-1.

b.

Como  entonces 

Luego , de donde  si y solo si , o sea, si 

Por lo tanto el valor crítico de f es .

Note que aunque  se indefine en , como este valor no pertenece al dominio de f, entonces no es valor crítico de dicha función.

Observación:
Reciben el nombre de valores extremos de una función f los valores máximos relativos y los valores mínimos relativos de f. Dada una función f cuyo dominio es el intervalo k, un valor  será un valor crítico de x para la función f si:

a.	ó
b.	no existe ó
c.	c es un extremo del intervalo k.

En este último caso, si  entonces "a" y "b" son valores críticos. Si o si  entonces "a" es un valor crítico. Si , o si entonces "b" es un valor crítico. Si , entonces ni "a" ni "b" son valores críticos (note que los valores extremos de un intervalo abierto no son elementos del intervalo).