Matematica I: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Valor máximo y valor mínimo de una función
Si f es una función dada, entonces

es un valor máximo relativo de f, si existe un intervalo abierto

tal que

y $f(c)\geq f(x)$ para $x \in ]a,b[$ , siendo x un valor del dominio de la función.

Si $f(c)\geq f(x)$ para toda x en el dominio de f, entonces

es el valor máximo de fo máximo absoluto.

Similarmente,

es un valor mínimo relativo de la función f, si existe un intervalo abierto

tal que

y $f(c)\leq f(x)$ para $x \in ]a,b[$ , con x en el dominio de f.

Si $f(c)\leq f(x)$ para toda x en el dominio de f, entonces se dice que

es el valor mínimo de dicha función. También se llama mínimo absoluto.

Ejemplo:

Considere una función f definida en un intervalo

, cuya representación gráfica es la siguiente:

Note que $f(x_{1})$ , es un máximo relativo y $f(x_{3})$ es el máximo valor que toma la función en el intervalo en que está definida.

Similarmente, $f(x_{4})$ es un valor mínimo relativo y $f(x_{2})$ es el mínimo absoluto de la función en

	Teorema 2
	Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si es un valor máximo relativo de f y si existe entonces . Prueba: al final del capítulo.

Ejemplo:

Considere la función f definida por

Su representación gráfica es la siguiente:

Puede observarse que cuando x toma el valor de

entonces la función tiene un valor máximo. En este caso

es precisamente el vértice de la parábola con ecuación: $y= \displaystyle\frac{-1}{4}(x^2 + 4x -8)$ .

Según el teorema anterior debe cumplirse que

es igual a cero.

En efecto, como $f'(x)= \displaystyle\frac{-1}{4}(2x+4)$ , al sustituir x por -2 se obtiene que $f'(-2)=\displaystyle\frac{-1}{4}(-4+4)=0$ , que era lo que quería comprobarse.

	Teorema 3
	Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si es un valor mínimo relativo de f y si existe, entonces . La demostración es similar a la del teorema anterior.

Ejemplo:

Considere la función f definida por:

Su representación gráfica es la siguiente:

Note que la función f tiene un valor mínimo en

dado por

. El punto

es el vértice de la parábola con ecuación

.

De acuerdo con el teorema

debe cumplirse que

sea igual a cero.

Como

entonces $f'(3)=2\cdot3-6=0$ y se verifica lo enunciado respecto al valor mínimo.

Observación:
El recíproco de los dos teoremas anteriores no es cierto. Es decir, el hecho de que

sea igual a cero, no implica que en

exista un máximo o un mínimo.

Por ejemplo, para la función f con ecuación

, se tiene que

, y

; sin embargo, en

no hay ni un valor máximo ni un valor mínimo, como puede observarse en la siguiente representación gráfica de la función.

	Definición
	Sea f una función. Recibe el nombre de valores críticos del dominio de f, aquellos en los que es igual a cero o en los que no existe.

Ejemplo:

Determinemos los valores críticos de las funciones con ecuaciones:

a.	, $x \in I \! \! R$
b.	$f(x)= \sqrt{x} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}$ ,

Solución:

a.: Como , entonces

Ahora: si y solo si o sea si , ó, , ó,

Luego, los valores críticos de f son: x=0, x=1, y x=-1.
b.: Como $f(x)= \sqrt{x} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}$ entonces $f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}+\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$

Luego $f'(x)= \displaystyle\frac{x+1}{2\sqrt{x^3}}$ , de donde si y solo si , o sea, si

Por lo tanto el valor crítico de f es .

Note que aunque se indefine en , como este valor no pertenece al dominio de f, entonces no es valor crítico de dicha función.

Observación:
Reciben el nombre de valores extremos de una función f los valores máximos relativos y los valores mínimos relativos de f. Dada una función f cuyo dominio es el intervalo k, un valor $c\in k$ será un valor crítico de x para la función f si: