Para salvar indeterminaciones de este tipo, es posible reducir el cociente planteado a otro cuyo denominador no sea cero factorizando el numerador y/o el denominador, cancelando luego los factores comunes. En otras ocasiones, es posible crear un factor común multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la que se presenta en uno de ellos.
Ejemplo. Halle 
Al sustituir, resulta 
y 
lo que genera una indeterminación del tipo 
.
y lo que genera una indeterminación del tipo .
Sin embargo, como 
si x ¹ 3, resulta que la función 
coincide con la función (x + 3) salvo en x = 3.
si x ¹ 3, resulta que la función coincide con la función (x + 3) salvo en x = 3.
Como interesa analizar el comportamiento de la función para valores de x próximos a 3 (por izquierda y por derecha), es posible determinar el comportamiento de analizando el de la función (x + 3).
analizando el de la función (x + 3).
Por lo tanto puede decirse que 
Nota. Existe algo sospechoso en este ejemplo. Si el 3 no estaba en el dominio antes de simplificar, pero sí lo estaba después de simplificar, la función seguramente ha cambiado.
Al decir 
mentimos un poco. Lo que en realidad quisimos decir es que esas dos expresiones son iguales en donde están definidas. En realidad 
y x + 3 son distintas. La diferencia entre ellas es que x = 3 no pertenece al dominio de pero sí al dominio de x + 3. Puesto que 
ignora cualquier valor que f pueda tomar x = 3, eso no interesa. Desde el punto de vista del límite en 2 esas funciones sí son iguales.
mentimos un poco. Lo que en realidad quisimos decir es que esas dos expresiones son iguales en donde están definidas. En realidad y x + 3 son distintas. La diferencia entre ellas es que x = 3 no pertenece al dominio de pero sí al dominio de x + 3. Puesto que ignora cualquier valor que f pueda tomar x = 3, eso no interesa. Desde el punto de vista del límite en 2 esas funciones sí son iguales.
Ejemplo. Calcule el valor de 
.
.
Al sustituir la variable por 1, tanto el numerador como el denominador se anulan y se genera la indeterminación 
. Se factorizan el numerador y el denominador y, para x ¹ 1, se simplifican los factores comunes:
. Se factorizan el numerador y el denominador y, para x ¹ 1, se simplifican los factores comunes:
Ejemplo. Halle el valor de 
.
.
Reemplazando la variable por 3 se obtiene la indeterminación . Para resolver este límite, se racionaliza el denominador multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la del denominador y resulta:
. Para resolver este límite, se racionaliza el denominador multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la del denominador y resulta:
Ejemplo. Determine el límite 
.
.
Al sustituir, resulta 
y 
lo que genera una indeterminación del tipo .
y lo que genera una indeterminación del tipo .
Si x ® 3, el denominador tiende a cero. Si x se aproxima a 3 por derecha o por izquierda, en cualquiera de los casos el denominador es positivo por estar elevado al cuadrado. Como el numerador negativo (-1), se concluye que el límite es -¥.
| Le proponemos resolver algunos ejercicios para que compruebe sus conocimientos. |
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