Muy buenos días apreciados estudiantes la siguiente publicación corresponde a la semana # 11
Regla de L'Hôpital para límites.
La regla de L´Hôpital permite resolver muchos casos de indeterminación de límites de funciones en un punto x = a. En principio la vamos a enunciar así:
Un límite indeterminado de la forma:
valdrá L, en caso de que también sea L el límite en x=a del cociente de las derivadas de numerador y denominador, es decir:
De esta manera podemos resolver indeterminaciones del tipo 0/0. Veamos un ejemplo.
EJEMPLO 1: Hallar el límite:
este límite tiene la forma indeterminada 0/0, por tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital:
límite que sigue teniendo la forma indeterminada 0/0, pero a la cual se puede volver a aplicar la regla de L'Hôpital:
que es en definitiva el valor del límite.
Pero la regla de L'Hôpital es mucho más general, pues es aplicable no sólo a la indeterminación 0/0, sino también a las indeterminaciones: 
/ , 0×, -.
/ , 0×, -.
Por ejemplo, una indeterminación del tipo /, provendrá de un límite de la forma:
/, provendrá de un límite de la forma:
en donde las dos funciones f(x) y g(x) tiendan a infinito en x=a, y este límite obviamente no varía si lo expresamos en la forma:
y ahora sí tiene la forma 0/0. En definitiva, la indeterminación / no es diferente de la 0/0.
/ no es diferente de la 0/0.
EJEMPLO 2: Hallar el límite:
Este límite en principio toma la forma indeterminada /, y lo resolvemos aplicando directamente la regla de L'Hôpital:
/, y lo resolvemos aplicando directamente la regla de L'Hôpital:
OBSERVACIÓN: No es necesario pasar el límite a la indeterminación 0/0 ántes de aplicar la regla de L'Hôpital. Si bien (f '/g') es distinto de (1/g)'/(1/f '), en cambio no son diferentes para nuestro caso de límites en el punto x=a.
En cuanto a las indeterminaciones del tipo 0×, aparecen en límites de productos de funciones f(x)×g(x) cuando una de ellas, p.ej. la f(x) tiende a 0, y la otra, la g(x), tiende a. En este caso nosotros expresaremos el límite en la forma:
, aparecen en límites de productos de funciones f(x)×g(x) cuando una de ellas, p.ej. la f(x) tiende a 0, y la otra, la g(x), tiende a. En este caso nosotros expresaremos el límite en la forma:
y como 1/g(x) tenderá a 0, se obtiene la forma típica 0/0, a la cual se puede aplicar directamente la regla de L'Hôpital.
EJEMPLO 3: Hallar el límite:
Este límite tiene la forma 0×, por lo tanto, operamos como hemos dicho:
, por lo tanto, operamos como hemos dicho:
habiendo expresado la inversa de la tangente como la cotangente, cuya derivada es: - 1/(seno)², esto es:
Otro tipo de indeterminación susceptible de realizarse por la regla de L'Hôpital es la forma -, que aparece en límites de una resta, es decir, cuando tenemos: f(x) - g(x), y ambas funciones en x=a se hacen +. Para este caso hay que tener en cuenta la siguiente identidad:
-, que aparece en límites de una resta, es decir, cuando tenemos: f(x) - g(x), y ambas funciones en x=a se hacen +. Para este caso hay que tener en cuenta la siguiente identidad:
y si en en x=a las funciones f y g son infinito, la expresión con sus inversas será 0, por lo que f-g equivaldrá a 0/0; no obstante para aplicar la regla de L'Hôpital, en este caso deberemos transformar f-g como una expresión que incluya un cociente, tal como en el ejemplo siguiente:
EJEMPLO 4: Hallar el límite:
Este límite tiene la forma -, y ántes de aplicar la regla de L'Hôpital debemos ponerlo en forma de cociente:
-, y ántes de aplicar la regla de L'Hôpital debemos ponerlo en forma de cociente:
así expresado el cociente tiene la forma 0/0, y se puede aplicar esta regla:
Finalmente, vamos a ver unos ejemplos en los que la regla de L'Hôpital ha de aplicarse sobre el exponente. Se trata de indeterminaciones del tipo: 0°, °, 
, que proceden de límites de una función f(x) elevada a otra función g(x), para su resolución es conveniente tener en cuenta la siguiente identidad:
°, , que proceden de límites de una función f(x) elevada a otra función g(x), para su resolución es conveniente tener en cuenta la siguiente identidad: |
teniendo en cuenta esta identidad, la cual suele escribirse por comodidad: A = exp(log A), podemos poner:
y ahora si estamos hallando un límite en x=a de esa función exponencial, nosotros calcularemos el límite en el exponente, es decir, dentro del paréntesis de "exp", en concreto el límite de (g×log f), el cual puede ser, por ejemplo, de la forma 0×, cuya forma de resolverse es la del ejemplo 3.
, cuya forma de resolverse es la del ejemplo 3.
EJEMPLO 5: Hallar el límite:
Este límite tiene la forma indeterminada 0°, y tal como hemos dicho, puede expresarse:
en el interior del paréntesis (la exponencial) tenemos una indeterminación 0×, y ahora procederemos así:
, y ahora procederemos así:
NOTA: Algunos, este tipo de límites los suelen hacer de otra manera -equivalente a la que hemos visto aquí- que vamos a pasar a exponer:
Partiendo de la equivalencia:
y ahora resuelven el límite de (g×log f) por la regla de L'Hôpital, tal como lo hacemos aquí, y si el resultado de este límite es "A", entonces:
log y = A
por tanto, el límite pedido, y, será e elevado a ese número A. En nuestro ejemplo 5, como el límite de (g×log f), es decir, el límite de (3x . log x) es 0, el límite pedido es e "elevado a 0", como ya lo hemos visto ántes.
EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
SOLUCIONES:
a) 0. b) -1/3 c) 4p³ d) -1 e) 2/p f) 0 g) 1/2 h) 1/e i) 1 j) 1.
, 
, indeterminado.
, 
, indeterminado, ya que
y 
.
